Muốn để một quả cầu kim loại lăn theo máng nghiêng trơn từ điểm cao A xuống điểm B nên làm máng nghiêng thành hình gì để thời gian quả cầu rơi là ít nhất
Câu hỏi này nghe qua có vẻ chẳng khó chút nào, khoảng cách đường thẳng giữa hai điềm ngắn nhất thì chỉ cần làm máng nghiêng thành hình thẳng, đường đi của quả cầu ngắn nhất thì cũng sẽ mất ít thời gian nhất? Nhưng thời gian để quả cầu rơi không chỉ có quan hệ tới đoạn đường cầu sẽ đi, mà còn có liên quan vận tốc của quả cầu. Đường đi thẳng của máng nghiêng là ngắn nhất nhưng nó không giúp cho quả cầu rơi với thời gian nhanh nhất.
Vậy nếu xét tới yếu tố tốc độ rơi của quả cầu, có thể làm máng nghiêng thành hình cung tròn. Như vậy đường đi của quả cầu khi rơi từ điểm A xuống sẽ tương đối dốc, tốc độ chắc chắn sẽ nhanh hơn máng thẳng. Quả thực là như vậy, đoạn cong của hình cung tròn khi rơi từ điểm A xuống sẽ có tốc độ khá nhanh nhưng sau khi đến điểm C, đoạn đường CB sẽ tương đối bằng phẳng cho nên ở nửa đoạn trước quả cầu mặc dù chạy nhanh nhưng đến nửa đoạn sau lại chạy chậm, thời gian mà quả cầu cần khi đến B vẫn chưa chắc nhanh hơn thời gian mà quả cầu lăn theo máng thẳng?
Vậy rốt cuộc nên làm chiếc máng theo hình dạng gì? Nhà vật lý học kiêm nhà thiên văn học người Itay Galilê đã từng cho rằng nên làm chiếc máng thành hình cung tròn. Nhưng 50 năm sau, anh em nhà toán học người Thuỵ Sĩ Bernoulli sau khi tính toán chính xác tỷ mỉ đã chứng minh không nên làm như như vậy, chiếc máng này nên làm thành hình vòng cung cong gấp thành đường võng, chiếc máng hình dưới cùng như trong hình vẽ chính là hình vòng cung đường võng. Vì thế đường võng được gọi là “đường đi xuống với tốc độ nhanh nhất”.
Thế nào là đường võng? Chúng ta lấy một hình vòng tròn (ví dụ như một cái bánh xe, một vòng chun... ), trên vòng tròn đó đánh dấu một điểm (lấy phấn đánh dấu điểm đó, hoặc đánh dấu bằng một sợi dây buộc nhỏ), để cho động một vòng trên mặt đất, lúc này đường mà điểm đánh dấu đi qua chính là đường võng, là một đường gấp khúc gần với cung tròn.
Phương pháp tính đường võng của anh em Bernoulli sau này phát triển thành một ngành toán học mới là biến phân học, có tác dụng to lớn trong lịch sử toán học.
