Bí mật Toán học

Đọc câu hỏi này, có lẽ bạn chẳng cần phải suy nghĩ nhiều mà trả lời ngay rằng số nguyên nhiều hơn số chẵn, cái bộ phận thì làm sao có thể lớn hơn cái toàn thể. Số chẵn là các số nguyên có thể chia hết cho 2, nó chỉ là một bộ phận trong tập hợp các số tự nhiên, ngoài số chẵn ra, số tự nhiên còn bao gồm số lẻ. Xem ra như vậy thì số chẵn sẽ không thể nhiều hơn số tự nhiên được.
Tuy nhiên, thực chất của vấn đề là muốn hỏi mối quan hệ lớn nhỏ giữa hai tập hợp số tự số chẵn. Tập hợp xét về mặt toán học là tên gọi chung của những cá thể cùng loại. Chúng ta gom mọi số tự nhiên lại thì gọi là tập hợp các số tự nhiên, mọi số chẵn thì gọi là tập hợp số chẵn. Vậy làm sao so sánh được sự lớn nhỏ của hai tập hợp? Đối với những tập hợp hữu hạn thì số lượng các phần tử trong tập hợp sẽ quyết định độ lớn nhỏ của tập hợp đó, ví dụ tập hợp học sinh của một trường sẽ lớn hơn tập hợp học sinh của một lớp. Chỉnh thể luôn lớn hơn 1 bộ phận của nó. Thế nhưng đối với tập hợp vô hạn thì có như vậy không?
Số lượng các phần tử trong tập hợp vô hạn là vô hạn, không thể đếm hết được. Ví dụ tập hợp số tự nhiên, tập hợp số chẵn... là những tập hợp vô hạn. Với những tập hợp vô hạn, chúng ta không thể sử dụng các phương pháp tính toán đối với tập hợp hữu hạn để so sánh lớn nhỏ. Người ta cho rằng, nếu giữa hai tập hợp vô hạn có thể tìm được mối quan hệ đối ứng 1 - 1 (tức là ứng với mỗi phần tử ở tập hợp này, ta có thể tìm được một phần tử ở tập hợp kia) thì chúng ta nói hai tập hợp đó bằng nhau. Đó chính là “ lý luận về độ lớn” đối với tập hợp vô hạn.
Với 2 tập hợp số tự nhiên và số chẵn, chúng ta có thể lập ra quan hệ đối ứng như sau : Số nguyên : ... -n ... -3 -2 -1 0 1 2 3... m ...
Số chẵn : ... -2n... -6 -4 -2 0 2 4 6... 2m ...
Bạn thấy rằng, bất kỳ một số k nào trong tập hợp số nguyên ta cũng tìm được một số 2k tương ứng trong tập hợp số chẵn. Như vậy ta có mối quan hệ đối ứng 1-1 giữa hai tập hợp này.
Như vậy theo nguyên tắc so sánh độ lớn giữa hai tập hợp vô hạn, hai tập hợp số nguyên và số chẵn là bằng nhau. Kết luận này có vẻ khó hiểu đối với thói quen của chúng ta, thế nhưng quả thật nó là như vậy.
Kỳ thực không chỉ có tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn là bằng nhau mà có nhiều tập hợp số khác nữa cũng bằng nhau.