Bí mật Toán học

Vấn đề này xem chừng không khó, chúng ta có thể thử dùng các đồng 1 xu, 2 xu và 5 xu kết hợp lại xem nhé :

1. Tất cả đều dùng đồng 1 xu : cứ 10 đồng 1 xu kết hợp được thành 1 hào, đây là 1 cách;
2. Dùng đồng 1 xu và đồng 2 xu : có thể dùng 1 đồng, 2 đồng, 3 đồng, 4 đồng và 5 đồng 2 xu, vì thế tổng cộng có 5 cách;
3. Dùng 1 đồng 5 xu, còn lại 5 xu dùng 1 xu, 2 xu : có thể dùng 5 đồng 1 xu; 1 đồng 2 xu, 3 đồng 1 xu; 2 đồng 2 xu, 1 đồng 1 xu, tổng cộng có 3 cách;
4. Tất cả đều dùng đồng 5 xu : 2 đồng 5 xu là sẽ thành 1 hào, như vậy là có 1 cách.

Vì thế khi dùng các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu để kết hợp thành 1 hào tổng cộng sẽ có 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách. Nếu bạn muốn dùng đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào kết hợp thành 1 đồng thì sẽ có bao nhiêu cách? Nếu như cứ tính toán như lúc trước thì không dễ dàng chút nào, vậy có cách tính nào đơn giản hơn không nhỉ?

Chắc chắn là có, nhà toán học Thuỵ Sĩ Euler đã đưa ra một phương pháp phổ biến, gọi là “toán pháp mẫu hàm”.

Cách làm này như sau: lấy việc kết hợp thành 1 hào làm ví dụ:

Dùng 1 xu kết hợp thành 1 hào, nhiều nhất phải dùng 10 xu ta có công thức liệt kê là (1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ + x¹⁰).

Dùng 2 xu kết hợp thành 1 hào, nhiều nhất phải dùng 5 đồng xu, ta có (1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + x¹⁰).

Dùng đồng 5 xu kết hợp thành 1 hào, nhiều nhất phải dùng 2 đồng, ta có (1 + x⁵ + x¹⁰).

Lấy ba phép tính trên nhân với nhau, ta có kết quả là giá trị hệ số x10. Bạn hãy thử tính xem, hệ số của x10 chính là 10, vì thế có 10 cách.

Vậy thì với cách kết hợp các đồng xu thành đồng 1 đồng thì có bao nhiêu cách? Chúng ta dùng công thức liệt kê “toán pháp mẫu hàm” :

(1 + x + x² + x³ +... + x¹⁰⁰)      công thức liệt kê của 1 xu (1 + x² + x⁴ +... + x¹⁰⁰) công thức liệt kê của 2 xu

(1 + x⁵ + x¹⁰ +... + x¹⁰⁰) công thức liệt kê của 5 xu (1 + x¹⁰ + x²⁰ +... + x¹⁰⁰) 1 hào = 10 xu

(1 + x²⁰ + x⁴⁰ +... + x¹⁰⁰) 2 hào = 20 xu

(1 + x⁵⁰ + x¹⁰⁰) 5 hào = 50 xu

Nhân triển khai dạng thức ta được hệ số của x¹⁰⁰ (100 xu tương đương với 1 đồng), chính là đáp án của câu đố.

Có thể bạn cho rằng giải như vậy cũng rất là phiền phức. Đúng là như vậy, tính bằng tay để tính ra hệ số của x¹⁰⁰ cũng rất khó khăn, nhưng Euler đã đưa ra được cho chúng ta một công thức chung, không cần mọi người phải tính toán máy móc nữa. Hơn nữa từ khi có công cụ máy tính thì những công thức tính toán phức tạp đến thế nào cũng đều trở nên dễ dàng rồi.