Trong cuốn “Thiên hạ biên” của “Trang Tử” người Trung Quốc có cách nói như sau : ếc búa một thước, mỗi ngày lấy đi một nửa, muôn đời không lấy hết. ”
Ý nghĩa của câu này như sau : Một gậy gỗ dài một thước, ngày thứ nhất lấy đi một nửa, còn lại 1/4 thước; ngày thứ hai lại lấy đi một nửa của 1/2 còn lại còn lại 1/4; ngày thứ ba lấy đi một nửa của 1/4 còn lại, vẫn còn 1/8 thước, . . , cứ tiếp tục lấy đi như vậy, mãi mãi không thể lấy đi hết chiếc gậy gỗ. Bởi vì bất luận số còn lại của gậy gỗ nhỏ như thế nào, nhưng luôn còn lại một nửa, cho nên sẽ “muôn đời không hết”.
Câu nói này xét từ góc độ lí thuyết là đúng, nhưng trên thực tế cuộc sống thì không thể thực hiện được, bởi vì cho đến một ngày gậy gỗ nhỏ đến mức độ nào đó, người ta cũng không thể tiếp tục chia một nửa được. Đã không thể lấy được nữa, thì tất nhiên đành phải dừng lại. Vậy thì lí luận phân tích như thế nào?
Chúng ta liệt kê ra độ dài còn lại mỗi ngày của gậy gỗ ra, có thể viết thành các dãy số như sau :
1; 1/2 ; 1/22, 1/23 ; ; 1/2n
Ngày thứ nhất, gậy gỗ là một thước; ngày thứ hai chỉ còn lại một nửa thước, là 1/2 ; ngày thứ ba là 1/2 x 1/2 = 1/22 ; ngày thứ tư lại là 1/22 x 1/2 = 1/23... ;..... . cứ lấy đi như vậy cho đến ngày thứ n, gậy gỗ chỉ là 1/2n. Rất rõ ràng, khi n tăng lên, 2n cũng tăng theo, thế thì 1/2n sẽ nhỏ đi, nhưng bất kể n lớn đến thế nào, 1/2n sẽ mãi mãi không bằng 0, cho nên cho dù lấy gậy gỗ đi như thế nào vẫn không thể lấy hết đi được.
Trước kia, kiến thức mà chúng ta học được trong giáo trình toán học đại bộ phận hạn chế trong vấn đề
định lượng, phần tính toán đề cậ đến đại đa số là vận toán bốn nguyên tắc của đẳng thức. Vậy thì, gặp phải vấn đề vô hạn không định lượng, chúng ta nên giải quyết vấn đề như thế nào?
Trong toán học, chúng ta dùng khái niệm “giới hạn” để biểu đạt vấn đề không định lượng vô hạn này.
Lấy ví dụ câu nói của “Trang Tử”, chúng ta thấy rằng khi n lớn đến vô cùng, 1/2n giới hạn tại 0. Chú ý : không phải 1/2n = 0, mà là giới hạn của 1/2n = 0, điều này đê chỉ một kiểu xu hướng, mãi mãi không thể có 1/2n = 0, nhưng khi n tâng lên, 1/2n thể hiện trạng thái vô hạn gần đến 0. Như vậy chúng ta đã nắm bắt được quy luật biến hoá của sự vật dạng này.
Giới hạn là khái niệm quan trọng trong toán học, trên nền tảng cơ sở của nó sau này đã nảy ra các phạm trù tích phân, vi phân...
