Vào đời Đường ở Trung Quốc, khi trong phủ của quan thượng thư Dương Tổn tổ chức một cuộc thi, Dương Tổn là quan chủ khảo ông ta đã đưa ra một đề toán như thế này : một hôm, có mấy tên trộm đang bàn luận làm thế nào để chia những cuộn vải cướp được. Nếu chia cho mỗi người 6 cuộn vải thì còn thừa 5 cuộn; nếu chia mỗi người 7 cuộn vải lại thiếu 8 cuộn, Dương Tổn mới hỏi các thí sinh hãy tìm ra xem có mấy tên trộm và mấy cuộn vải?
Một lúc sau có một thí sinh đưa ra đáp án chính xác: số tên trộm là 13 và có tổng cộng 83 cuộn vải. Nhưng bạn có biết anh ta làm thế nào tính ra
Chúng ta hãy so sánh 2 lần chia vải: lần thứ nhất mỗi người 6 cuộn vải còn thừa 5 cuộn; lần thứ hai mỗi người 7 cuộn và còn thừa 8 cuộn, có thể thấy do lần thứ 2 chia nhiều hơn lần thứ nhất (7 - 6) cuộn vải cho nên cần dùng nhiều hơn lần thứ nhất (5 + 8) cuộn vải. Do đó số tên trộm sẽ là (5 + 8÷(7 - 6) = 13 người, vậy số cuộn vải sẽ là 13 x 6 + 5 = 83 cuộn vải.
Nếu bạn đã học phương trình thì có thể gọi số tên trộm là x từ đó ta có dạng thức phương trình là: 6x + 5 = 7x + 8, tiếp tục tính ra được 7x - 6x = 5 + 8, suy ra ta có x = 13, tức là có 13 tên trộm, số cuộn vải sẽ là 13 x 6 + 5 = 83 cuộn vải, hoặc 7 x 13 - 8 = 83 cuộn. Kết quả của hai cách giải này đều như nhau.
Anh chàng thí sinh thông minh đã nhanh chóng tính ra được đáp án nên đã được Dương Tổn trọng thưởng. Vấn đề như thế này chúng ta gọi là vấn đề thừa khuyết. Do kết quả hai lần chia có lần thì dư, ví dụ như lần một dư 5 cuộn vải, lúc này gọi là thừa; có lần thì thiếu, ví dụ như lần hai thiếu 8 cuộn vải, lúc này gọi là khuyết, hợp cả lại gọi là vấn đề thừa khuyết. Điều này cũng giống như mặt trăng trên bầu trời, có lúc tròn (thừa), lúc khuyết. Vấn đề “thừa khuyết” trong toán học chính là cách nói mượn hiện tượng đầy khuyết của mặt trăng.
