Khi vẽ màu sắc cho bản đồ, chúng ta thường tô những màu không giống nhau lên những khu vực khác nhau của các vùng gần kề, khiến cho giữa những khu vực này có sự khác biệt. Vậy thì, vẽ một bản đồ, cần dùng bao nhiêu loại màu sắc khác nhau? Nếu vẽ một bản đồ cần 4 loại màu sắc, chúng ta gọi là “bản đồ bốn màu”, nếu cần 5 loại màu thì gọi là “bản đồ 5 màu”, cứ thế suy ra.
Năm 1852, Phnenxi Gesli vừa tốt nghiệp đại học Luân Đôn vẽ màu cho bản đồ nước Anh, ông phát hiện ra một hiện tượng vô cùng lí thú : Bất luận bản đồ phức tạp thế nào, các nước khác vùng chỉ cần 4 loại màu tô là đủ rồi. Cũng tức là, chỉ cần 4 loại màu sắc là có thể giúp mắt ta phân biệt được bất kỳ các nước nào lân cận nhau.
Thế là, ông thông báo tin này cho anh em của ông là Pheđrech Gesli. Trình độ toán học của Pheđrech sâu sắc, nhưng đối với câu hỏi này lại không giải được, đành đi hỏi thầy giáo của mình - giáo sư nổi tiếng Mogan. Sau một hồi chau mày suy nghĩ cũng đành bó tay, thế là ông nói lại câu hỏi này cho nhà toán học nổi tiếng Haminton, Haminton tài hoa đã khổ sở suy nghĩ vấn đề này 3 năm, cho đến khi qua đời không có bất cứ kết quả nào.
Năm 1878, trong đại hội hàng năm toán học Luân Đôn, nhà toán học người Anh Carry đã quy vấn đề này về “phỏng đoán bốn màu” : mỗi một bản đồ vẽ trên giấy chỉ cần dùng bốn màu không giống nhau là có thể khiến cho các quốc gia lân cận có thể phân biệt. Thời đó, nó cùng với định lí Féc-ma, phỏng đoán Gotebathe được gọi là ba vấn đề khó nhất của toán học cận đại.
Năm 1879, một nhà toán học nổi tiếng là Hen Pu đã phát biểu một chứng minh “phỏng đoán bốn màu”. Sau 11 năm, một nhà toán học đã chỉ ra sai sót trong chứng minh của ông, sau đó ông này lại sử dụng phương pháp này, chứng minh được thành công dùng 5 màu sắc có thể phân biệt được các quốc gia lân cận trên bản đồ. Đó chính là “định lí năm màu”.
Nhưng giảm từ 5 màu xuống còn 4 màu, điều này lại làm đau đầu nhiều nhà toán học. Năm 1920, Franklin đã chứng minh khi số nước nhỏ hơn 26 thì định lí 4 màu có thể thực hiện được. Sau đó, khi số nước tăng thêm 20, người ta lại phải mất đúng 47 năm mới chứng minh được. Bởi vì mỗi khi số nước tăng lên 1, 2 nước, thì quan hệ biên giới của các nước khác nhau sẽ trở nên phức tạp hơn rất nhiều, mà khi chứng minh vẫn phải xem xét đến những khả năng có thể xảy ra mà không được để bất cứ sai sót gì.
Năm 1976, nhà toán học nước Anh Hagen dùng phương pháp vô cùng phức tạp, bằng trợ giúp của máy tính đã chứng minh “phỏng đoán bốn màu”. Chứng minh của họ phải viết thành mấy trăm trang, dùng ba chiếc máy tính siêu lớn, tiêu tốn hơn 1200 tiếng đồng hồ. Từ đó, “phỏng đoán 4 màu” kéo dài 124 năm này trở thành “định lí 4 màu”.
Toàn bộ giới toán học náo động. Để kỷ niệm thời khắc mang tính lịch sử này, Bưu điện Trường đại học Illinois, nơi hai nhà toán học làm việc đã đóng dấu lên mỗi một bưu kiện bằng con dấu như thế này : “4 loại màu là đã đủ rồi”.
