Có một chiếc hồ hình vuông, ở bốn góc trên bờ của hồ có 4 cái cây lớn. Bây giờ người ta đào thêm để chiếc hồ rộng hơn nhằm nuôi cá trồng sen, họ muốn tăng gấp đôi diện tích của hồ nhưng lại không muốn di chuyển bốn cái cây lớn đó cũng không thể để cho chúng ngập trong nước, hơn nữa lại muốn chiếc hồ sau khi được mở rộng vẫn là hình vuông, theo bạn thì nên làm như thế nào?
Vấn đề này xem ra khá là khó nhưng chỉ cần chúng ta động não suy nghĩ thì vấn đề sẽ đơn giản hơn nhiều. Chúng ta sẽ vẽ ra một bản nháp để xem xem cách giải quyết như thế nào.
Trong hình vẽ 4 đỉnh của chiếc hồ hình vuông được biểu thị bằng bốn điểm ABCD, chúng ta nối các điểm của các góc đối của hình vuông ABCD, sau khi nối AC và BD ta có được tâm của hình vuông là : O. Nét đứt trong hình vẽ biểu thị đường phụ trợ mà chúng ta làm. Qua điểm A và điểm C lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD, cũng tương tự vậy, qua điểm B và D lần lượt vẽ các đường thẳng song song với AC, bốn đường thẳng thì cứ hai đường giao nhau tại E, F, G, H. Lúc này EFGH cũng là một hình vuông, đây chính là điều mà chúng ta cần làm, diện tích của hình vuông mới này gấp hai lần hình vuông ABCD, đồng thời 4 cái cây ở bốn đỉnh ABCD cũng vẫn được yên lành, không cần di chuyển mà cũng không bị ngập nước.
Vậy làm thế nào để chứng minh diện tích của hình EFGH lớn gấp đôi diện tích của hình ABCD?
Do hai đường chéo trong hình vuông cùng vuông thẳng góc với nhau, tức là AC vuông thẳng góc với BD, mà EF và HG song song với BD, vì thế AC cũng vuông thẳng góc với EF và GH, điều đó cho thấy AE = AF = CG = CH, cũng tức là nói A và C là trung điểm của EF và HG. Cũng tương tự như vậy B và D cũng là trung điểm của FG và EH. Trong hình tam giác AOB và hình tam giác AFB, hai hình tam giác cũng là hai hình tam giác vuông, hơn nữa AF = OB = FB = DA, vậy thì do diện tích của hình tam giác vuông là 1/2 (AO x BO), 1/2 (AF x BF), nên diện tích của hai hình tam giác AOB và AFB bằng nhau. Cũng tương tự như vậy, diện tích của hình vuông ABCD bằng với 4 lần diện tích của. hình tam giác AOB, của hình vuông EFGH bằng 8 lần diện tích của hình tam giác AOB, do đó diện tích của hình vuông EFGH bằng hai lần diện tích của hình vuông ABCD.
Vậy là vấn đề đã được giải quyết, không phải di chuyển cây mà còn làm rộng diện tích của cái hồ ra làm đôi.
